이차곡선 개념정리

포물선, 타원, 쌍곡선. 생긴 건 완전히 다른데 왜 한 단원에 같이 들어와 있을까요? 답은 이 셋이 전부 '거리에 대한 약속'에서 태어난 형제라서예요.

이차곡선은 '거리를 어떻게 묶느냐'로 갈리는 한 가족이에요.

약속만 살짝 바꾸면 곡선 이름이 바뀌어요.

• 점 1개와 직선 1개로부터 같은 거리 → 포물선
• 점 2개로부터 거리의 합이 일정 → 타원
• 점 2개로부터 거리의 차가 일정 → 쌍곡선

이 단원의 진짜 목표는 '세 개의 공식 암기'가 아니라, 거리 조건 → 좌표 대입 → 방정식이라는 하나의 흐름을 익히는 거예요.

포물선은 한 점(초점)과 한 직선(준선)에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이에요.

포물선 위 점 $P$에서 (초점까지 거리) = (준선까지 거리).

초점을 $(p,0)$, 준선을 $x=-p$로 놓고 약속을 좌표로 써요. 점 $P(x,y)$에서 준선까지 거리는 $|x+p|$니까

$\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|$

양변을 제곱하면 $y^2=4px$가 깔끔하게 나와요. 외운 게 아니라 거리 약속에서 떨어진 식이에요.

표준형 정리 · $y^2=4px$ : 초점 $(p,0)$, 준선 $x=-p$

짧은 예 · $y^2=12x$라면 $4p=12$니 $p=3$. 초점 $(3,0)$, 준선 $x=-3$. $4p$를 한 덩어리로 보는 눈이 핵심이에요.

압정 두 개를 박고 실을 느슨하게 묶은 뒤 연필로 팽팽하게 당기며 한 바퀴 돌리면 타원이에요. 실 길이가 고정이니 두 초점까지 거리의 합이 항상 일정해요.

타원은 '두 초점까지 거리의 합 = 일정($2a$)'. 그 합이 장축의 길이예요.

초점을 $(\pm c,0)$, 거리의 합을 $2a$로 두고 정리하면

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)$

가장 헷갈리는 게 $a,b,c$ 관계인데, 그림 한 장으로 끝나요. 곡선이 끝점 $(0,b)$를 지날 때 두 초점까지 거리는 각각 $a$예요. 이 점과 한 초점, 원점이 만드는 직각삼각형을 보면

$a^2=b^2+c^2$

즉 $a$가 빗변이에요. $a$가 빗변이라는 그림만 기억하세요.

용어 · 장축 길이 $2a$, 단축 길이 $2b$, 초점 $(\pm c,0)$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$

짧은 예 · $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$이면 $a^2=25,\ b^2=9$. $c^2=25-9=16$라 초점은 $(\pm4,0)$. 분모가 더 큰 쪽에 초점이 있어요.

타원에서 '합'을 '차'로 바꾸면 쌍곡선이에요. 두 초점까지 거리의 차(절댓값)가 일정한 점들의 모임이죠.

타원은 합, 쌍곡선은 차. 그래서 $a^2=b^2+c^2$가 $c^2=a^2+b^2$로 뒤집혀요.

초점 $(\pm c,0)$, 거리의 차를 $2a$로 두면

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

부호가 $-$로 바뀌었어요. 이번엔 $c$가 제일 큰 값이라

$c^2=a^2+b^2$

초점이 곡선보다 더 바깥에 있으니까요. 쌍곡선만의 보너스가 점근선이에요. $x$가 커지면 곡선이

$y=\pm\frac{b}{a}x$

에 한없이 가까워져요. 우변을 1 대신 0으로 놓으면 점근선을 바로 구할 수 있어요.

짧은 예 · $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$이면 $c=5$, 초점 $(\pm5,0)$, 점근선 $y=\pm\dfrac{4}{3}x$.

세 곡선이 진짜 한 가족이라는 증거가 **이심률 $e$**예요.

$e<1$이면 타원, $e=1$이면 포물선, $e>1$이면 쌍곡선. 다이얼 하나로 셋이 연결돼요.

이심률을 직접 계산하는 문제는 시험 범위가 아니에요. '왜 이 셋이 한 단원인가'를 그리는 도구로만 쓰세요. 타원에서 두 초점을 점점 벌리면 곡선이 납작해지다가 한쪽을 무한히 멀리 보내면 포물선이 되고, 더 밀어붙이면 쌍곡선이 돼요.

비교표 · 포물선 · 초점 1개, 준선 1개. $y^2=4px$. 정보는 $p$에서 · 타원 · 초점 2개, 거리의 합. $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, $a^2=b^2+c^2$ · 쌍곡선 · 초점 2개, 거리의 차. $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, $c^2=a^2+b^2$, 점근선 있음.

$a,b,c$ 관계에서 부호 하나 틀리면 문제가 날아가요. 타원은 $a$가 왕, 쌍곡선은 $c$가 왕.

이차곡선에서 점수가 갈리는 곳은 거의 접선이에요. 두 가지 접근법이 있는데, 상황 따라 골라야 해요.

'곡선 위의 점'이면 공식, '밖의 점·기울기 조건'이면 판별식. 둘을 헷갈리면 시간만 날려요.

(1) 곡선 위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선 · 공식이 예뻐요. 원본 방정식에서 $x^2\to x x_1$, $y^2\to y y_1$로 '한 칸씩 풀어주기'만 하면 돼요.

• 포물선 $y^2=4px$ · $y y_1=2p(x+x_1)$
• 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ · $\dfrac{x x_1}{a^2}+\dfrac{y y_1}{b^2}=1$
• 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ · $\dfrac{x x_1}{a^2}-\dfrac{y y_1}{b^2}=1$

패턴이 보죠? 제곱을 곱으로 쪼갠다는 규칙 하나예요.

(2) 기울기 $m$이 주어진 접선 · 판별식으로 가요. $y=mx+k$를 곡선에 대입해 $x$에 대한 이차식을 만들고, 접한다 = 판별식 $=0$. 예를 들어 타원에 $y=mx+k$를 넣고 $D=0$을 풀면

$k=\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$

'대입 → 판별식 0'이라는 손동작을 익혀두면 포물선·쌍곡선에도 똑같이 통해요.

짧은 예 · 타원 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 위의 점 $(2,1)$에서의 접선. 공식에 그대로 $\dfrac{2x}{8}+\dfrac{y}{4}=1$, 정리하면 $x+y=4$. 1분 컷이에요.

거리 약속 → 좌표 대입 → 방정식. 모든 이차곡선이 이 흐름 하나예요.

정의(거리 약속)

• 포물선 · 초점·준선에서 같은 거리
• 타원 · 두 초점 거리의 합이 일정
• 쌍곡선 · 두 초점 거리의 차가 일정

표준형과 $a,b,c$

• 포물선 $y^2=4px$ → 초점 $(p,0)$, 준선 $x=-p$
• 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ → $a^2=b^2+c^2$ ($a$가 빗변)
• 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ → $c^2=a^2+b^2$ ($c$가 최대), 점근선 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$

접선

• 곡선 위의 점 → '제곱을 곱으로' 공식
• 기울기 조건 → 대입 후 판별식 $=0$

연결고리 · 입력은 '거리'(이전 단원), 출력은 '직선과 곡선의 위치 관계'(다음 단원)예요. 거리라는 한 끈으로 세 곡선을 꿰는 것이 이 단원의 전부예요.