도형의 방정식 개념정리

중학교까지 도형은 '그려서' 푸는 거였어요. 그런데 "이 점이 정확히 어디?", "이 거리가 정확히 얼마?"를 그림만으로는 못 박아요. 그래서 데카르트가 만든 게 좌표평면이에요. 평면 위 모든 점에 $(x, y)$라는 주소를 붙인 거죠.

주소가 생기니 도형의 성질이 $x, y$ 사이의 식으로 바뀌어요. "중심에서 거리가 일정한 점들"이라는 원의 성질은 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$이 돼요.

도형의 방정식은 기하 문제를 계산 문제로 바꾸는 번역 작업이에요.

이 단원 공식은 거의 다 피타고라스 정리에서 나와요. 두 점 거리, 점과 직선 거리, 원 · 전부 직각삼각형 이야기예요.

두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ 사이 거리를 구해볼게요. 두 점을 잇고, 가로·세로로 한 변씩인 직각삼각형을 그리면

• 밑변: $|x_2 - x_1|$ (가로로 떨어진 정도)
• 높이: $|y_2 - y_1|$ (세로로 떨어진 정도)

빗변이 우리가 찾는 거리니까 피타고라스로

$\overline{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

제곱하니까 절댓값은 사라져요. 예로 $A(1, 2)$, $B(4, 6)$이면 가로 3, 세로 4 → 거리 5예요.

선분 $AB$를 $m:n$으로 나누는 점을 찾는 게 내분·외분이에요. 반대편 비율을 곱한다는 규칙이 핵심이에요. $m:n$으로 나누면 $A$ 쪽엔 $n$, $B$ 쪽엔 $m$을 곱해요.

내분점 $P$: $P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \; \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}\right)$

외분점은 $n$ 자리에 $-n$을 넣어요: $Q = \left(\frac{m x_2 - n x_1}{m-n}, \; \frac{m y_2 - n y_1}{m-n}\right)$

$m=n$이면 분모가 0 → 외분점은 존재하지 않아요. 중점은 $1:1$ 내분이라 $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$예요. 삼각형 무게중심은 세 꼭짓점 좌표의 평균이고요.

직선을 식으로 쓰려면 기울기 $m$ = "$x$가 1 늘 때 $y$가 얼마 변하나" = $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$을 알아야 해요.

점 하나 + 기울기를 알면 직선이 정해져요: $y - y_1 = m(x - x_1)$

여기서 $y=mx+b$(기울기·절편형)와 일반형 $ax+by+c=0$(기울기 $-\frac{a}{b}$)가 파생돼요. 세로선 $x=k$는 기울기가 없어 $y=mx+b$ 꼴로 못 써요.

두 직선의 관계는 기울기로 끝나요:

• 평행 $\iff m_1 = m_2$
• 수직 $\iff m_1 \cdot m_2 = -1$

수직이 $-1$인 이유 · 기울기 $m$인 직선을 90도 돌리면 새 기울기는 $-\frac{1}{m}$이에요. 그래서 수직 기울기는 뒤집고 부호 바꾸기 · $\frac{3}{4}$의 수직은 $-\frac{4}{3}$예요.

점 $(x_1, y_1)$에서 직선 $ax+by+c=0$까지 수직으로 내린 거리는

$d = \frac{|a x_1 + b y_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

분자는 점을 직선 식에 대입한 값의 절댓값이에요. 분모 $\sqrt{a^2+b^2}$는 그 값을 진짜 거리로 환산해요.

절차를 습관으로 만드세요:

1. 직선을 $ax+by+c=0$ 꼴로 정리
2. 분모 $\sqrt{a^2+b^2}$부터 적기
3. 점 좌표를 분자에 대입하고 절댓값 씌우기

예: 점 $(3, 1)$에서 직선 $4x - 3y + 1 = 0$까지 → $d = \frac{|4\cdot3 - 3\cdot1 + 1|}{\sqrt{16+9}} = \frac{10}{5} = 2$.

원의 정의 · 한 점(중심)에서 거리가 항상 일정($r$)한 점들의 모임. 이를 거리 공식에 넣으면

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} = r$

양변 제곱하면 표준형:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

전개해서 정리하면 일반형: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

일반형에서 중심과 반지름을 찾으려면 **완전제곱식(평방완성)**을 써요. $x$끼리, $y$끼리 묶어 완전제곱으로 만들면 표준형이 되고, 중심·반지름이 보여요.

**일반형이 진짜 원이 되려면 평방완성 후 $r^2 > 0$**이어야 해요.

원과 직선 위치는 "중심·직선 거리 $d$"와 "반지름 $r$"을 비교해요 · $d < r$면 두 점에서 만남, $d = r$면 접함, $d > r$면 안 만나요.

도형을 옮기는 건 좌표를 바꿔치기하는 일이에요.

평행이동: 도형을 $x$축으로 $a$, $y$축으로 $b$만큼 옮기면, 식에서 $x$ 자리에 $x-a$, $y$ 자리에 $y-b$를 넣어요. $f(x, y)=0 \;\Rightarrow\; f(x-a,\, y-b)=0$

왜 마이너스? 오른쪽으로 $a$ 옮긴 새 점 $(x, y)$는 옮기기 전엔 $(x-a, y-b)$ 자리에 있었어요. 점은 $+$로 움직이지만, 식은 $-$로 들어간다 · 이게 핵심 함정이에요.

대칭이동: 어느 좌표의 부호가 바뀌는지만 기억하면 돼요.

• $x$축 대칭 · $y \to -y$
• $y$축 대칭 · $x \to -x$
• 원점 대칭 · $x \to -x,\; y \to -y$
• 직선 $y=x$ 대칭 · $x$와 $y$를 맞바꿈

이 단원을 한 장으로 묶으면:

• 두 점 거리: $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ · 피타고라스.
• 내분점 $m:n$: $\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$. 외분은 $n \to -n$.
• 직선: $y-y_1=m(x-x_1)$. 평행 $\iff m_1=m_2$ · 수직 $\iff m_1 m_2=-1$.
• 점·직선 거리: $\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
• 원: 표준형 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. 원과 직선은 중심·직선 거리와 반지름 비교.
• 이동: 평행이동은 식에 $x-a,\,y-b$. 대칭은 부호 규칙.

모든 거리 공식은 직각삼각형 빗변이고, 직선은 기울기로, 이동은 좌표 바꿔치기로 통한다.