수열 개념정리

수열은 순서가 있는 수들의 나열이에요. $n$번째 항을 $a_n$이라 하고, $a_n = f(n)$ 형태의 일반항으로 표현해요.

공차가 일정한 수열이에요. $n$번째 항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$. 처음 $n$항의 합은 평균 × 개수로 생각하면 돼요. $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

공비가 일정한 수열이에요. $r = 1$이면 $S_n = na$. $r \neq 1$일 때: $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ 공비는 절댓값이 1보다 클 때와 작을 때 기울기가 완전히 달라져요.

등차수열에서 세 항이 등차를 이루면 $b = \dfrac{a+c}{2}$. 등비수열이면 $b^2 = ac$, 즉 $b = \pm\sqrt{ac}$.

자주 쓰는 합 공식들: $\sum k = \dfrac{n(n+1)}{2}, \quad \sum k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum k^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

$S_n$이 처음 $n$항의 합이면, $n \geq 2$일 때 일반항은 $a_n = S_n - S_{n-1}$로 구해요. $a_1 = S_1$인지 따로 확인해야 해요.

수학적 귀납법: ① $n=1$일 때 참임을 보이고, ② $n=k$일 때 참이라 가정하고 $n=k+1$일 때도 참임을 보여요.

수열 문제의 핵심: 규칙을 찾기 → 공식으로 표현하기. 규칙이 곧 공식이에요.