벡터 개념정리

고1 때 도형은 점 $(x,y)$ 하나하나를 좌표로 다뤘어요. 그런데 '이 점에서 저 점으로 이동' 같은 움직임은 좌표만으로는 어색하죠. 그래서 등장하는 게 벡터예요.

벡터 = 크기와 방향을 한 묶음으로 가진 양.

**벡터는 위치가 아니라 '변위(이동)'**예요. 같은 길이·같은 방향이면 시작점이 어디든 같은 벡터예요. 이걸 '평행이동해도 같다'고 해요.

왜 이게 강력하냐면, 도형 문제가 '점들의 관계'에서 '화살표들의 덧셈'으로 바뀌기 때문이에요. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ · 이건 공식이 아니라 그냥 'A에서 B 갔다가 B에서 C 가면 결국 A에서 C 간 것'이라는 당연한 이동의 합이에요.

벡터의 기본 연산 둘 · 그림으로 외우면 평생 안 까먹어요.

• 덧셈 · 두 화살표를 머리-꼬리로 이어붙이기(삼각형법) 또는 평행사변형의 대각선
• 실수배 · $k\vec{a}$는 $\vec{a}$를 $k$배 늘이거나 줄인 것. $k<0$이면 방향이 반대로 뒤집혀요

뺄셈은 따로 외우지 마세요. $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$일 뿐이에요. 위치벡터(원점 기준)로 보면 $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ (끝점 빼기 시작점) · 이건 시험에서 매번 쓰는 변환이에요.

이 연산들이 만나면 분점공식이 나와요. 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분하는 점 $P$의 위치벡터는

$\overrightarrow{OP}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$

왜냐면 $P$는 $A$에서 출발해 $\overrightarrow{AB}$의 $\frac{m}{m+n}$만큼 간 점이라서요. 무게중심도 같은 논리로 $\overrightarrow{OG}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$.

그림은 직관엔 좋지만 계산엔 불편해요. 그래서 벡터를 좌표축 방향으로 쪼개요.

$\vec{a}=a_1\vec{e_1}+a_2\vec{e_2}=(a_1,a_2)$

이 $(a_1,a_2)$가 성분이에요. 이제 모든 게 숫자놀이로 바뀌어요.

• 덧셈·실수배 · 자리끼리 처리
• 크기 · 피타고라스 $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
• $\overrightarrow{AB}$의 성분 = (B좌표) − (A좌표)

$A(1,2)$, $B(4,6)$이면 $\overrightarrow{AB}=(3,4)$, 크기는 $5$. 공간벡터도 성분이 하나 늘 뿐이에요. '그림으로 이해하고, 성분으로 계산한다' · 이 두 트랙을 오가는 게 벡터의 진짜 실력이에요.

여기가 벡터의 심장이에요. 덧셈은 벡터를 만들지만, 내적은 두 벡터에서 '수' 하나를 뽑아내요.

• 각도 정의 · $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$ ($0\le\theta\le\pi$)
• 성분 정의 · $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$ (공간이면 $+a_3b_3$)

왜 같을까요? 코사인법칙으로 연결돼요. $|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$ 인데, 왼쪽을 성분으로 전개하면 교차항이 정확히 $-2(a_1b_1+a_2b_2)$가 돼요. 즉 내적은 코사인법칙을 벡터 언어로 옮긴 것이에요.

내적 하나로 두 가지를 동시에 잡아요.

• 각도 · $\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$ · 특히 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ ⇔ 수직
• 길이 · $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$

예 · $\vec{a}=(3,4)$, $\vec{b}=(2,-1)$이면 $\vec{a}\cdot\vec{b}=2$. 양수니까 사잇각이 예각이에요.

내적이 왜 시험에 많이 나올까요? 방향이 같은 성분만 골라 뽑는 도구라서 그래요.

$\vec{b}$ 방향으로 본 $\vec{a}$의 정사영 길이는

$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=|\vec{a}|\cos\theta$

내적 $\vec{a}\cdot\vec{b}$는 '그림자 길이 × $\vec{b}$의 길이'예요. 일(work)이나 극값 문제가 내적으로 풀리는 이유가 여기예요.

또 하나 · $|\vec{a}+\vec{b}|^2$ 전개는 단골 무기예요.

$|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$

곱셈공식 $(a+b)^2$과 똑같은 꼴이라 새로 외울 게 없어요. 크기가 섞인 문제는 일단 제곱해서 내적으로 펼치기가 정석이에요.

가장 자주 쓰이는 무기 · (영벡터가 아닐 때) $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ ⇔ 수직. 두 벡터 $(1,2)$, $(t,-1)$이 수직이려면 내적 $t-2=0$, 즉 $t=2$. '수직 ⇔ 내적 0' · 이게 바로 다음, 평면과 직선의 방정식으로 이어져요.

고1의 직선·원을 벡터로 다시 쓰면 공간까지 한 번에 확장돼요.

직선의 방정식 (방향벡터 이용) · 점 $A$를 지나고 방향벡터 $\vec{u}=(a,b)$인 직선 위의 점 $P$는 $\overrightarrow{AP}$가 $\vec{u}$와 평행해요.

$(x,y)=(x_1,y_1)+t(a,b), \quad \frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}\;(=t)$

공간에서는 성분이 하나 늘어 $\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}=\dfrac{z-z_1}{c}$예요.

평면의 방정식 (법선벡터 + 내적) · 평면은 '한 점을 지나면서 어떤 방향에 수직인 점들의 모임'이에요. 평면 위 점 $P$에 대해 $\overrightarrow{AP}\perp\vec{n}$, 즉 내적 $=0$:

$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

정리하면 $ax+by+cz+d=0$. $x,y,z$ 계수가 곧 법선벡터 $(a,b,c)$ · 황금 포인트예요. 평면식만 보면 수직 방향이 바로 읽혀요.

같은 논리로 두 평면이 이루는 각 = 두 법선벡터가 이루는 각, 직선과 평면은 방향벡터·법선벡터의 내적으로 처리해요.

벡터는 따로 노는 공식 묶음이 아니라 하나의 흐름이에요.

• 출발 · 점을 화살표(변위)로 보기
• 연산 · 덧셈 · 실수배 → 분점·무게중심
• 성분 · $(a_1,a_2)$로 좌표화 → 자리끼리 계산
• 내적 · $|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1+a_2b_2$ (코사인법칙의 변신) → 각·길이·수직을 한 번에
• 활용 · 정사영 · $|\vec{a}+\vec{b}|^2$ 전개 · 수직 ⇔ 내적 0
• 도착 · 직선·평면의 방정식

앞 단원과의 연결 · 고1 도형·삼각함수·공간도형이 재료로 들어와요. 이 내적·성분 감각이 행렬·벡터공간·물리(힘·일)로 이어져요. '이동의 합 → 좌표화 → 내적'이라는 세 칸 사다리로 기억하세요.