적분법 개념정리

적분을 처음 배울 때 가장 흔한 오해가 "적분은 넓이 구하는 거"라는 거예요. 맞긴 한데, 그건 결과일 뿐 정체는 아니에요. 부정적분의 정체는 미분의 역연산이에요.

미분해서 $f(x)$가 되는 함수 $F(x)$를 찾는 것, 그게 적분이에요.

$F'(x)=f(x)$일 때 $\int f(x)\,dx = F(x)+C$라고 써요. $C$가 붙는 이유는 상수는 미분하면 0이 되니까, $F(x)$든 $F(x)+5$든 미분하면 똑같이 $f(x)$가 되기 때문이에요. 그래서 **적분상수 $C$**가 필요해요.

이 관점이 왜 중요하냐면, 적분 공식을 따로 외울 필요가 없어지거든요. 예를 들어 $(\sin x)' = \cos x$를 알면, 거꾸로 읽어서 $\int \cos x\,dx = \sin x + C$가 나와요. 미분표를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는 습관, 이게 적분법 전체를 관통하는 핵심이에요.

$\int x^3\,dx$를 보면, "미분해서 $x^3$이 되려면?" 지수를 하나 올려 $x^4$로 만들고, 미분할 때 튀어나올 4를 미리 나눠주면 $\frac{1}{4}x^4$. 검산하면 정확히 $x^3$. 그래서 $\int x^3\,dx=\frac{1}{4}x^4+C$예요.

기본 함수들의 적분은 전부 미분 공식의 역방향이에요.

• 다항함수 · $\int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ (단 $n\neq -1$)
• 분수 $\frac1x$ · $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$ · 위 공식이 $n=-1$에서 막히는 자리를 로그가 채워요
• 지수 · $\int e^x\,dx = e^x+C$, $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$
• 삼각 · $\int \cos x\,dx=\sin x+C$, $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$

$n=-1$만 로그가 되는 이유 · $\frac{1}{n+1}$의 분모가 0이 되어 지수 공식이 무너지기 때문이에요.

절댓값 $|x|$가 붙는 것도 직관이 있어요. $x<0$에서도 $\frac1x$가 정의되니까, 음수 구간까지 살려두려고 절댓값을 쓰는 거예요.

적분의 두 가지 성질 · 상수배는 밖으로 $\int k f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$, 합은 쪼개서 합산할 수 있어요. 그래서 다항식은 항별로 따로 적분하면 끝이에요.

예 · $\int (3x^2 - 2\sin x)\,dx = x^3 + 2\cos x + C$.

기본 공식으로 안 풀리는 식은 대부분 합성함수거나 곱이에요. 합성으로 얽힌 건 치환적분으로 풀어요.

치환적분의 뿌리는 **합성함수 미분(연쇄법칙)**이에요. $\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x)$를 거꾸로 읽으면:

$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad (u=g(x))$

핵심 직관은 "복잡한 안쪽 덩어리를 $u$로 묶어버린다"예요. $du = g'(x)\,dx$로 $dx$까지 통째로 갈아끼우면 식이 $u$만 남는 깔끔한 모양으로 변신해요.

단계 · 안쪽 덩어리를 $u$로 놓기 · $du = g'(x)\,dx$ 만들기 · 식 전체를 $u$로 바꾸기 · $u$로 적분 후 다시 $x$로 되돌리기

예 · $\int 2x(x^2+1)^3\,dx$에서 $u=x^2+1$로 놓으면 $du = 2x\,dx$. 식에 마침 $2x\,dx$가 있으니 $\int u^3\,du = \frac{1}{4}u^4 + C = \frac{1}{4}(x^2+1)^4 + C$.

치환의 신호 · 식 안에 "어떤 덩어리와 그 덩어리의 미분"이 같이 보이면 치환이에요.

정적분에서 치환할 땐 적분구간도 함께 바꿔요. $x$ 구간을 $u$ 구간으로 바꾸면 마지막에 $x$로 되돌릴 필요가 없어 더 빨라요.

두 함수의 곱인데 치환으로도 안 풀릴 때(예 · $x e^x$, $x\ln x$, $x\cos x$) 쓰는 게 부분적분이에요.

뿌리는 곱의 미분법이에요. $(uv)' = u'v + uv'$를 적분하면 $uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$. 정리하면:

$\int u\,v'\,dx = uv - \int u'\,v\,dx$

직관은 "적분하기 어려운 곱을, 한쪽은 미분하고 한쪽은 적분해서 더 쉬운 적분으로 바꾼다"예요.

무엇을 $u$로 놓느냐가 전부예요. 기준은 "미분하면 단순해지는 걸 $u$로". 로다삼지 순서를 외우세요.

• 로그 → 다항식 → 삼각 → 지수
• 앞에 있는 걸 $u$(미분)로, 뒤에 있는 걸 $v'$(적분)로 놓아요

예 · $\int x e^x\,dx$에서 다항식 $x$가 지수 $e^x$보다 앞이니 $u=x$, $v'=e^x$.

$\int x e^x\,dx = x e^x - \int 1\cdot e^x\,dx = (x-1)e^x + C$

$x$를 미분해서 1로 단순해진 덕분에 남은 적분이 깔끔해져요.

이제 적분이 왜 넓이가 되는지 봐요. 곡선 아래를 얇은 직사각형들로 쪼개면, 각 조각의 넓이는 $f(x)\,dx$예요. 이걸 쌓아서 더한 것이 정적분이에요.

계산은 미적분의 기본정리 덕분에 간단해요. $F'(x)=f(x)$이면 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$. 적분 다 해놓고 위끝·아래끝만 대입해서 빼면 끝이에요.

실전 공식들 · 곡선과 $x$축 · $S=\int_a^b |f(x)|\,dx$ (부호 주의) · 두 곡선 사이 · $S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$

넓이는 음수가 될 수 없어요. 축 아래로 내려가는 구간은 절댓값으로 처리하세요.

예 · $y=x^2$과 $y=x$ 사이 넓이($0\le x\le1$). 이 구간에서 $x\ge x^2$라 위가 $x$, 아래가 $x^2$.

$S=\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac16$

부피 · 입체를 $x$축에 수직으로 얇게 썰면, 각 단면 넓이가 $S(x)$일 때

$V = \int_a^b S(x)\,dx$

단면의 넓이 $S(x)$를 정확히 세우는 게 부피 문제의 8할이에요.

속도와 거리 · 위치를 미분하면 속도니까, 거꾸로 속도를 적분하면 위치 변화예요. 시각 $t=a$에서 $t=b$까지:

• 변위(위치 변화) · $\int_a^b v(t)\,dt$ · 부호 그대로
• 거리(실제로 움직인) · $\int_a^b |v(t)|\,dt$ · 절댓값, 방향 상관없이 다 더해요

변위와 거리는 달라요. 갔다가 되돌아오면 변위는 작아지지만 거리는 커져요.

예 · $v(t)=t-2$ ($0\le t\le3$). $t=2$에서 속도 부호가 바뀌어요.

• 변위 · $\int_0^3 (t-2)\,dt = -\frac32$
• 거리 · $\int_0^2 (2-t)\,dt + \int_2^3 (t-2)\,dt = 2 + \frac12 = \frac52$

속도 부호가 바뀌는 점에서 구간을 끊는 게 핵심이에요.

• 부정적분 = 미분의 역연산. 미분표를 오른쪽에서 왼쪽으로 읽기. 적분상수 $C$ 절대 빠뜨리지 않기
• 기본 함수 적분 · 다항·지수·로그·삼각 모두 미분 역방향
• 치환적분 · 합성·"덩어리+그 미분" 보이면 안쪽을 $u$로 갈아끼우기
• 부분적분 · 곱이면 $\int u\,v' = uv - \int u'\,v$, $u$ 선택은 로다삼지
• 넓이 · $\int_a^b |f-g|\,dx$ (위−아래), 절댓값으로 처리
• 부피 · $\int_a^b S(x)\,dx$, 단면 넓이를 정확히 세우기
• 속도·거리 · 변위 vs 거리, 속도 부호 바뀌는 점에서 끊기

모든 적분 기법의 뿌리는 미분 공식이에요. 치환=연쇄법칙 역방향, 부분적분=곱의 미분 역방향. 외우는 게 아니라 '거꾸로 읽기'예요.