행렬 개념정리

여러 데이터가 묶여 있을 때가 많죠. 예를 들어 두 가게의 사과·배 재고를 적는다면:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

첫째 줄이 A가게, 둘째 줄이 B가게, 첫째 칸이 사과, 둘째 칸이 배라고 약속하면 이 한 덩어리가 정보 전체를 담아요. 이렇게 수를 직사각형으로 배열한 것을 행렬이라고 해요.

• 가로줄을 행, 세로줄을 열이라 불러요.
• $m$개의 행과 $n$개의 열로 된 행렬을 $m \times n$ 행렬이라 불러요.
• $i$행 $j$열의 성분을 $a_{ij}$로 써요. '행→열' 순서는 끝까지 안 바뀌니까 지금 외워두면 편해요.

행과 열의 개수가 같은 $n \times n$ 행렬을 정사각행렬이라 불러요. 거듭제곱·단위행렬은 정사각행렬에서만 일어나는 이야기거든요.

두 행렬이 **같다(상등)**는 건:

1. 꼴(크기)이 같고 · 행의 수, 열의 수가 각각 같아야 하고,
2. 같은 위치의 성분이 모두 같다

는 두 조건을 다 만족할 때예요.

$\begin{pmatrix} x & 5 \\ 2 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

이면 같은 자리끼리 비교해서 $x=3$, $y=4$가 바로 나와요. 행렬 등식 하나는 성분 개수만큼의 방정식 묶음이에요.

행렬 등식 = '같은 자리끼리 비교'. 크기가 다르면 비교 자체가 불가능해요.

이 셋은 규칙이 같이 '자리별로 따로따로'예요. 같은 자리는 같은 의미(예: A가게 사과 칸)를 가지니까, 같은 의미끼리 더하는 게 자연스럽기 때문이에요.

덧셈·뺄셈 (꼴이 같은 두 행렬만 가능): $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix}$

실수배: $k\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$

꼭짓점 함정 하나 · 꼴이 다르면 덧셈·뺄셈은 정의되지 않아요. $2\times 2$와 $2\times 3$은 더할 수 없어요.

좋은 소식: 덧셈과 실수배는 보통 수의 계산법칙이 그대로 통해요. 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 다 성립해요.

여기가 이 단원의 심장이에요. 곱셈만큼은 자리별로 곱하지 않아요. 왜일까요? 행렬은 원래 연립방정식과 변환을 담는 도구거든요.

곱셈 규칙: 앞 행렬의 한 '행'과 뒤 행렬의 한 '열'을 짝지어, 곱해서 더한다.

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}$

$i$행 $j$열 성분 = '앞의 $i$행' · '뒤의 $j$열'을 자리끼리 곱해 합한 값이에요.

곱셈이 정의되려면 조건이 붙어요: 앞 행렬의 열 수 = 뒤 행렬의 행 수. $(m\times n)(n\times r)$처럼 가운데 $n$이 맞아야 해요. 가운데가 안 맞으면 곱 자체가 없어요.

행렬 곱셈을 그렇게 정의했더니, 우리가 당연하게 여기던 성질들이 깨져요.

1. 교환법칙이 성립하지 않아요 ($AB \neq BA$). 순서가 곧 의미예요. 그래서 $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$이지, $A^2+2AB+B^2$이 아니에요.

2. 곱이 영행렬인데 둘 다 영행렬이 아닐 수 있어요. 수에서는 $xy=0$이면 $x=0$ 또는 $y=0$이지만, 행렬은 아니에요. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 둘 다 영행렬이 아닌데 곱은 영행렬이 됐죠. $AB=O$라고 해서 $A=O$나 $B=O$를 결론지으면 안 돼요.

3. 그래도 살아남는 법칙들이 있어요. 결합법칙 $(AB)C=A(BC)$, 분배법칙 $A(B+C)=AB+AC$는 성립해요.

곱셈을 정의했으니, '곱해도 안 변하는 행렬'을 찾고 싶어져요. 그게 단위행렬 $E$예요.

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

핵심 성질은 $AE = EA = A$. 어느 쪽에 곱해도 상대를 그대로 돌려줘요. 단위행렬은 곱셈에서만큼은 교환법칙도 통하는 특별한 친구예요.

같은 정사각행렬을 거듭 곱하는 거듭제곱으로 가요. $A^2 = AA,\quad A^3 = AAA,\quad A^{m}A^{n} = A^{m+n}$

단, 밑이 같은 한 행렬일 때만 지수법칙이 통해요. 거듭제곱 문제는 무조건 작은 거듭제곱부터 계산해서 $E$나 $-E$가 나오는 주기를 찾으면 돼요. 그래서 큰 지수도 순식간에 풀려요.

이 단원을 한 장으로 압축하면:

• 행렬: 수를 직사각형으로 배열한 표. $m\times n$, 성분은 '행→열' 순서.
• 상등: 꼴이 같고 같은 자리 성분이 모두 같을 때.
• 덧셈·뺄셈·실수배: 자리별로 따로. 여기까진 수의 법칙 그대로(교환·결합·분배 OK).
• 곱셈: 앞 행렬의 행 × 뒤 행렬의 열을 곱해 더함. 가운데가 맞아야 함.
• 비가환: $AB\neq BA$(교환법칙 깨짐), $AB=O$여도 $A,B$가 $O$가 아닐 수 있음.
• 단위행렬 $E$: 대각선만 1. $AE=EA=A$, 곱셈의 '1'.
• 거듭제곱: 정사각행렬에서만. 주기를 찾아 큰 지수 해결.

이 단원의 모든 함정은 결국 '곱셈이 보통 곱셈이 아니다' 한 문장에서 나와요.