통계 개념정리

통계의 모든 출발점은 확률변수예요. 주사위 결과는 눈금이지만, 우리가 궁금한 건 '그 눈금에 얼마의 확률이 붙어 있나'죠.

한줄핵심: 확률변수는 '어떤 값이 얼마의 확률로 나오는가'를 적어둔 표예요.

값이 띄엄띄엄이면 이산확률변수, 연속이면 연속확률변수예요.

• 이산: 각 값마다 확률 $P(X=x_i)=p_i$, $\sum p_i = 1$
• 연속: 확률밀도함수 $f(x)$, $\int f(x)\,dx = 1$

핵심 직관은 확률의 총합은 항상 1이에요. 이산이면 막대 높이를 다 더해 1, 연속이면 그래프 아래 전체 넓이가 1. 이 '총넓이=1' 감각이 정규분포에서 그대로 살아나요.

동전 2개를 던져 앞면 수를 $X$라 하면, $X$는 $0,1,2$ 값을 갖고 확률은 $\tfrac14,\tfrac12,\tfrac14$. 더하면 1이죠. 이게 확률분포고, 앞으로는 '이 표를 가지고 평균과 흩어짐을 따지는 일'이에요.

확률변수를 표로 적었으면, 두 숫자로 요약해요. 중심(기댓값)과 퍼짐(분산)이에요.

기댓값은 값에 확률을 곱해 더한 거예요. 그냥 평균인데 각 값에 확률만큼 가중치를 준 거죠. $E(X)=\sum x_i\,p_i = m$

분산은 평균에서 얼마나 떨어졌나를 제곱해 평균낸 값이에요. $V(X)=E\big((X-m)^2\big)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$

오른쪽 형태가 계산용 무기예요. 편차를 일일이 구하지 말고 $E(X^2)-m^2$로 한 방에 끝나니까요.

한줄핵심: $V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2$

일차변환 공식도 중요해요. $Y=aX+b$일 때

• $E(aX+b)=aE(X)+b$
• $V(aX+b)=a^2V(X)$

왜 분산엔 $b$가 없을까요? $b$는 전체를 옮기기만 하니 퍼짐은 그대로고, $a$배 늘리면 간격도 $a$배라 분산은 $a^2$배가 되거든요.

독립시행을 같은 조건으로 $n$번 반복해요. 매번 성공확률은 $p$로 일정하고, 성공 횟수를 $X$라 하면 $X$가 따르는 게 이항분포 $\mathrm{B}(n,p)$예요.

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\quad(k=0,1,\dots,n)$

외우지 말고 구조로 봐요. $k$번 성공·$(n-k)$번 실패하는 한 가지 경우가 $p^k(1-p)^{n-k}$이고, 그 자리 배치가 $\binom{n}{k}$가지라 곱한 거예요.

핵심은 평균과 분산이 공식으로 딱 떨어진다는 점이에요. $E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p)$

한 번 시행에서 성공 수의 기댓값이 $p$이니, $n$번 모으면 평균은 $np$. 분산은 한 번짜리 $p(1-p)$를 $n$개 독립으로 더해 $np(1-p)$가 되는 거예요.

평균 근처가 가장 빽빽하고 양옆으로 갈수록 줄어드는 좌우대칭 종 모양. 키·몸무게·측정오차 같은 수많은 현상이 이 모양을 따라요. 이게 정규분포 $\mathrm{N}(m,\sigma^2)$고, 평균 $m$과 표준편차 $\sigma$ 단 두 숫자로 결정돼요.

• $m$은 종의 중심 위치
• $\sigma$는 종의 폭
• 곡선 아래 넓이는 항상 1

한줄핵심: 정규분포는 평균 $m$, 표준편차 $\sigma$ 두 개로 끝나는 종이에요.

시험에서 자주 쓰는 $\sigma$ 구간 법칙이에요.

• $m\pm\sigma$ 안에 약 $68\%$
• $m\pm2\sigma$ 안에 약 $95\%$
• $m\pm3\sigma$ 안에 약 $99.7\%$

문제는 평균과 표준편차가 제각각이라 그때그때 넓이를 새로 구할 수 없다는 거예요. 그래서 모든 정규분포를 하나의 표준 자로 바꾸는 표준화 작업이 필요해요.

정규분포가 많아도, 자를 통일하면 표는 한 장이면 돼요. $X\sim\mathrm{N}(m,\sigma^2)$일 때 $Z=\frac{X-m}{\sigma}$ 로 바꾸면 $Z\sim\mathrm{N}(0,1)$, 즉 표준정규분포가 돼요.

왜 이 식일까요? $X-m$으로 중심을 0으로 옮기고, $\sigma$로 나눠 폭을 1로 맞춘 거죠.

한줄핵심: $Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$ · '평균에서 몇 $\sigma$만큼 떨어졌나'를 재는 거예요.

계산 절차는 항상 같아요.

1. 구하려는 범위의 양 끝을 $Z$값으로 변환
2. 표에서 $P(0\le Z\le z)$ 값을 읽기
3. 대칭성과 덧뺄셈으로 원하는 넓이 조립

예: $X\sim\mathrm{N}(60,10^2)$에서 $P(X\ge75)$? $z=\tfrac{75-60}{10}=1.5$이니 $P(Z\ge1.5)=0.5-0.4332=0.0668$.

현실에선 모집단 전체를 조사할 수 없어서 표본을 뽑아요. 표본평균 $\overline{X}$도 표본을 새로 뽑을 때마다 달라지니 이것도 확률변수예요.

모평균 $m$, 모표준편차 $\sigma$인 모집단에서 크기 $n$ 표본을 뽑으면 $E(\overline{X})=m,\qquad V(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n},\qquad \sigma(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

두 가지를 꼭 느껴야 해요.

• 중심은 그대로 $m$. 평균은 치우치지 않아요.
• 흩어짐은 $\sqrt{n}$배로 줄어든다. $n$이 커질수록 $\overline{X}$가 $m$ 근처로 모여요.

한줄핵심: 표본평균은 중심이 $m$ 그대로, 흩어짐만 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$로 줄어요.

모집단이 정규분포면 $\overline{X}$도 정확히 정규분포를 따르고, $n$이 충분히 크면 어떤 모집단이든 정규분포에 가까워져요(중심극한정리). $Z=\frac{\overline{X}-m}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\mathrm{N}(0,1)$ 분모가 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$인 것만 놓치지 않으면 돼요.

모평균 $m$을 모르는 상태에서, 뽑은 표본평균 $\overline{X}$ 하나로 '$m$은 대략 이 사이에 있다'를 말하는 게 추정이에요. 점 하나로는 거의 빗나가니까, 여유를 둔 구간으로 잡는 거예요.

$\overline{X}$가 $m$ 근처 $\pm$오차 안에 들어올 확률을 설정하면, 그 관계를 뒤집어 $m$의 범위를 말할 수 있어요. 신뢰도 $95\%$를 잡으면 $\overline{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \le\ m\ \le\ \overline{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

신뢰도에 따라 $z$값이 정해져요.

• $95\%$ → $z=1.96$
• $99\%$ → $z=2.58$

구간의 길이는 $2z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$이에요. 신뢰도를 높이면 $z$가 커져 구간이 넓어지고, $n$을 키우면 구간이 좁아져요. 길이를 절반으로 줄이려면 $n$을 4배로 해야 해요.

한줄핵심: 신뢰구간 = $\overline{X}\pm z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

통계는 흩어진 공식이 아니라 하나의 줄기예요.

• 확률변수: 총합(넓이)은 항상 1
• 기댓값·분산: $E(aX+b)=aE(X)+b$, $V(aX+b)=a^2V(X)$
• 이항분포: $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$
• 정규분포: 평균 $m$·표준편차 $\sigma$로 결정
• 표준화 $Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$: 모든 정규분포를 표 한 장으로 통일
• 표본평균: $E(\overline{X})=m$, $\sigma(\overline{X})=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, 표준화는 분모가 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• 신뢰구간: $\overline{X}\pm z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

한줄핵심: 모든 길은 **표준화 $Z$**로 통해요. 분모가 $\sigma$냐 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$냐만 구분하면 끝이에요.