삼각함수 개념정리

중학교 삼각비는 직각삼각형에서 비율이었어요. 하지만 진자의 흔들림, 소리·빛의 파동처럼 돌고 도는 현상들이 있죠. 이를 다루려면 각을 $90^\circ$ 안에만 가둘 수 없어요.

핵심: 삼각비를 '함수'로 끌어올리고, 무대를 단위원으로 옮기는 거예요.

흐름은 이렇습니다. 각을 계산 좋은 단위(호도법)로 바꾸고 → 단위원 위 점의 좌표로 $\sin, \cos$을 정의하고 → 회전을 펼쳐 **그래프(주기)**로 보고 → 성질을 뽑고 → 사인·코사인법칙으로 확장해요.

도($^\circ$)는 사람이 정한 약속일 뿐, 계산에는 안 맞아요. 그래서 반지름을 기준으로 삼아요. 반지름과 같은 길이의 호가 만드는 중심각을 1 라디안이라 합니다.

$180^\circ = \pi \text{ (라디안)}$

이 변환만 기억하면 부채꼴 공식이 자연스럽게 따라와요. 호의 길이는 $l = r\theta$, 넓이는 $S = \frac{1}{2}r^2\theta$.

예로 반지름 $6$, 중심각 $\frac{\pi}{3}$인 부채꼴의 호는 $6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi$, 넓이는 $\frac{1}{2} \times 6 \times 2\pi = 6\pi$예요.

직각삼각형 정의는 예각에서만 통해요. 그래서 반지름 $1$인 원을 무대로 삼아요. 원점에서 양의 $x$축을 기준으로 각 $\theta$만큼 돌렸을 때 만나는 점의 좌표를 $(x, y)$라 하면, 그것이 곧 삼각함수예요.

$\cos\theta = x, \quad \sin\theta = y, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}$

반지름 $1$인 직각삼각형에서 빗변이 $1$이니까 옛 정의와 완벽히 이어지면서도 모든 각을 다룰 수 있어요. 점이 원 위에 있으니 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$이 공짜로 나오고요.

예시로 $\theta = 150^\circ$이면 2사분면, 좌표는 $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$. 따라서 $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$.

단위원 위 점을 돌리면서 $y$좌표만 따로 펼쳐 보세요. 물결이 그려져요. 그게 사인 곡선이에요.

• $y = \sin x$, $y = \cos x$: 주기 $2\pi$, 치역 $[-1, 1]$
• $\cos$은 $\sin$을 왼쪽으로 $\frac{\pi}{2}$ 민 모양
• $y = \tan x$: 주기 $\pi$, $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$에서 점근선

일반형 $y = a\sin(bx + c) + d$에서 각 계수의 역할:

• $|a|$ = 진폭 / 주기 $= \dfrac{2\pi}{|b|}$ / $c$ = 위상, $d$ = 중심선

예: $y = 3\sin 2x$는 진폭 $3$, 주기 $\pi$예요.

공식을 외우는 게 아니라 단위원의 대칭으로 만들어내세요.

$\frac{\pi}{2}$의 홀수 배가 끼면 $\sin \leftrightarrow \cos$ 바뀌고, $\pi$의 정수 배가 끼면 안 바뀐다.

주기성: $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$. $x$축 대칭: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.

예시로 $\cos\frac{13\pi}{6}$. 주기성으로 $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$ 이므로 $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

이제 직각이 없는 임의의 삼각형에서 변과 각을 잇는 도구가 필요해요.

• 사인법칙: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
• 코사인법칙: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

언제 무엇을 쓰냐가 전부예요. 변-대각 짝이 하나라도 주어지면 사인법칙, 두 변과 낀각이나 세 변이 주어지면 코사인법칙.

코사인법칙은 피타고라스의 일반화예요. $A = 90^\circ$면 $\cos A = 0$이라 $a^2 = b^2 + c^2$가 되죠. 세 변을 알 때 $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$로 각을 구해요.

• 출발점: 단위원에서 회전과 주기를 읽으면 호도법·정의·그래프·성질·두 법칙이 전부 한 줄로 꿰여요.
• 호도법: $180^\circ = \pi$ → 부채꼴 $l = r\theta$, $S = \frac{1}{2}r^2\theta$
• 정의: $\cos\theta = x$, $\sin\theta = y$. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$은 원의 식에서 공짜.
• 그래프·주기: $\sin, \cos$ 주기 $2\pi$, $\tan$ 주기 $\pi$. 진폭 $|a|$, 주기 $\frac{2\pi}{|b|}$
• 성질: $\frac{\pi}{2}$ 홀수 배면 함수 바뀜, $\pi$ 정수 배면 그대로. 부호는 사분면으로.
• 사인법칙: 변-대각 / 외접원. 코사인법칙: 세 변 또는 두 변+낀각